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  1. Introdução aos Logaritmos
    Introdução aos Logaritmos
  2. Propriedade: Soma de Logs = Log do Produto
    Propriedade: Soma de Logs = Log do Produto
  3. Propriedade: O Expoente dentro do Log tomba pra fora
    Propriedade: O expoente dentro do Log tomba pra fora
  4. Propriedade: Subtração de Logs = Log da Divisão
    Propriedade: Subtração de Logs = Log da Divisão
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Introdução aos Logaritmos

Exercício Yes Matemática

Calcule o valor de x nas equações abaixo:

A) log2x=5
B) log7x=-1
C) log4(x+10)=2
D) log5(x-1)=-1
E) \(log_3 \frac{x}{5} = 4\)

Resposta:

A) 25 = x \(\iff\) x= 32
B) 7-1 = x \(\iff\) x=\(\frac{1}{7}\)
C) 42 = x + 10 \(\iff\) x = 16 – 10 = 6
D) 5-1 = x -1 \(\iff\) x – 1 = \(\frac{1}{5}\) \(\iff\) x – 1 = 0,2 \(\iff\) x = 1,2
E) \(3^4 = \frac{x}{5}\) \(\iff\) \(\frac{x}{5} = 81\) \(\iff\) \(x = 81 \times 5 = 405\)

Exercício Yes Matemática

Calcule o valor de x nas equações abaixo:

A) 15 + log3x = 19
B) 2.log4x = 6
C) 3 + log2(x+1) = 6
D) 2 + 3log5x = 8
E) 3 + 2log3(x-2) = 7

Exercício UFGD 2011 – Universidade Federal da Grande Dourado

(UFGD 2011) Uma empresa de derivados químicos considera que, quando x milhões de dólares são investidos em pesquisas, o lucro anual, em milhões de dólares, passa a ser

L(x) = 20 + 5log3(x+3)

De quanto deveria ser o investimento em pesquisa para que o lucro anual fosse de 40 milhões de dólares?
(A) 24 milhões de dólares.
(B) 27 milhões de dólares.
(C) 78 milhões de dólares.
(D) 9 milhões de dólares.
(E) 84 milhões de dólares.

Resposta: Alternativa C

Exercício Yes Matemática

Calcule o valor de x nas equações abaixo:

A) \(log_2 \frac{x}{3} = 3\)
B) \(log_3 \frac{x+1}{2} = 2\)
C) \(log \frac{2x+2}{4} = 3\)
D) \(1 + log_2 \frac{x-2}{3} = 5\)

Exercício UFPR 2012 – Universidade Federal do Paraná

(UFPR 2012) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:
\(log (\frac{L}{15}) = −0,08x\)

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?

a) 150 lumens.
b) 15 lumens.
c) 10 lumens.
d) 1,5 lumens.
e) 1 lúmen.

Resposta: Alternativa D

Exercício UFRGS 2018 – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

(UFRGS 2018) Leia o texto abaixo, sobre terremotos.
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto. Ela está relacionada com a energia sísmica liberada no foco e também com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Para cobrir todos os tamanhos de terremotos, desde os microtremores de magnitudes negativas até os grandes terremotos com magnitudes superiores a 8.0, foi idealizada uma escala logarítmica, sem limites. No entanto, a própria natureza impõe um limite superior a esta escala, já que ela está condicionada ao próprio limite de resistência das rochas da crosta terrestre. Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935:
log(E) = 11,8 + 1,5M onde: E = energia liberada em Erg; M = magnitude do terremoto.

Disponível em: http://www.iag.usp.br/siae98/
terremoto/terremotos.htm
Acesso em: 20 set. 2017.

Sabendo que o terremoto que atingiu o México em setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a energia liberada por esse terremoto, em Erg.
(A) 13,3
(B) 20
(C) 24
(D) 1024
(E) 1028

Resposta: Alternativa D

Exercício ENEM 2019 PPL

(ENEM 2019 PPL) Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5·log2 (t + 1), em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.

A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?

A 63
B 96
C 128
D 192
E 255

Resposta: Alternativa D

Exercício Yes Matemática

Assuma que 100,3 = 2

Calcule:

A) 100,3 × 10
B) 100,3 × 102
C) 101,3
D) 102,3
E) 103,3
F) 106,3

Resposta:

A) 100,3 × 10 = 2 × 10 = 20
B) 100,3 × 102 = 2 × 100 = 200
C) 101,3 = 101+0,3 = 101 × 100,3 = 10 × 2 = 20
D) 102,3 = 102+0,3 = 102 × 100,3 = 100 × 2 = 200
E) 103,3 = 103+0,3 = 103 × 100,3 = 1000 × 2 = 2000

Exercício UFG 2017 – Universidade Federal de Goiás

(UFG EAD 2017) A magnitude M de um terremoto e a energia por ele liberada (em Joules) E estão relacionadas pela seguinte equação:

log(E)=4,4+1,5 M ,

sendo que o logaritmo está na base 10.

Use: \(10^{\frac{325}{1000}}=2,11\)

Se um terremoto teve magnitude 1,95, a energia por ele liberada, em Joules, foi
(A) \(2,11×10^2\)
(B) \(2,11×10^5\)
(C) \(2,11×10^7\)
(D) \(2,11×10^{22}\)

Resposta: Alternativa C

Exercício Yes Matemática

Assuma que 100,3 = 2

Calcule:

A) 100,3 × 100,3
B) 100,3+0,3
C) 100,3+0,3+0,3
D) 100,3×2
E) 100,3×3
F) 100,6

Exercício Yes Matemática

Assuma que log 2 = 0,3

Calcule:

Exercício Yes Matemática

Assuma que 100,3 = 2

H) \((10^2)^2\)
H) \((10^2)^3\)
H) \((10^2)^4\)
H) \((10^2)^5\)
H) \((10^3)^5\)


G) \((10^{0,3})^2\)
G) \((10^{0,3})^3\)
H) \((10^2)^{0,3}\)
H) \((10^3)^{0,3}\)
I) 10000,3
I) 100000,3

Exercício UFRGS 2015 – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

(UFRGS 2015) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, então o valor de 1000,3 é:

A) 3
B) 4
C) 8
D) 10
E) 33

Resposta: Alternativa B

UEMS 2010 – Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul

Na história do desenvolvimento da matemática, os logaritmos apareceram para facilitar os cálculos em uma época em que ainda não existiam calculadoras. Os logaritmos estão associados à ideia de construir uma tabela que auxilie em cálculos de multiplicação, que envolvem muitos dígitos e que seriam trabalhosos de serem feitos à mão. Essa ideia, que motivou o surgimento dos logaritmos, associa-se com a propriedade matemática \(a^na^m = a^{n+m}\)

Fixada uma base \(b\), o logaritmo \(n\) de um número \(x\) qualquer é o expoente da equação \(x = b^n\). A tabela a seguir é similar àquelas que os matemáticos construíam e utilizavam na época da invenção dos logaritmos. Nela, tem-se a base 0,99999 fixada.

Com o uso da tabela, pode-se afirmar que \(0,99998 \times 0,99994\) vale

A)0
B) 0,99999
C) 0,99993
D)0,99992
E) π

Resposta: Alternativa D

Exercício ENEM 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como \(M_W\), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. \(M_W\) e \(M_0\) se relacionam pela fórmula:

\(M_W = -10,7 + \frac{2}{3}log_{10}(M_0)\)

Onde \(M_0\) é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude \(M_W = 7,3\).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado) •
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado)

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico \(M_0\) do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

A \(10^{-5,10}\)
B \(10^{-0,73}\)
C \(10^{12,00}\)
D \(10^{21,65}\)
E \(10^{27,00}\)

Resposta: Alternativa E

Exercício UFRN 2012 – Universidade Federal do Rio Grande do Norte

(UFRN 2012) No ano de 1986, o município de João Câmara – RN foi atingido por uma sequência de tremores sísmicos, todos com magnitude maior do que ou igual a 4,0 na escala Richter. Tal escala segue a fórmula empírica \(M = \frac{2}{3}log_{10}\frac{E}{E_0}\)
, em que M é a magnitude, E é a energia liberada em KWh e E0=7×10-3KWh.
Recentemente, em março de 2011, o Japão foi atingido por uma inundação provocada por um terremoto. A magnitude desse terremoto foi de 8,9 na escala Richter. Considerando um terremoto de João Câmara com magnitude 4,0, pode-se dizer que a energia liberada no terremoto do Japão foi

A) 107,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara
B) cerca de duas vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
C) cerca de três vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
D) 1013,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.

Resposta: Alternativa A

UESC 2009 – Universidade Estadual de Santa Cruz

Como os logaritmos têm crescimento bastante lento, são usados em algumas aplicações práticas em que as medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a escala Richter que é usada pelos sismólogos para medir a intensidade de terremotos. Os valores dessa escala correspondem a log(x), com x igual à amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo terremoto.

Se um terremoto A atingiu 5,2 graus na escala Richter e um outro, B, atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmicas provocadas por A foi igual a

A) 1000 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
B) 100 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
C) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
D) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
E) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.

Resposta: Alternativa B

Exercício ENEM 2018 PPL

Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é \(R=log(\frac{A}{A_0})\), em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, \(A_0\) é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado)

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é

A) \(1,28\)

B) \(2,0\)

C) \(10^\frac{9}{7}\)

D) \(100\)

E) \(10^9-10^7\)

Resposta: Alternativa D

Exercício ENEM 2016

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

\(M=\frac{2}{3}log(\frac{E}{E_0})\),

sendo \(E\) a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e \(E_0\) uma constante real positiva. Considere que \(E_1\) e \(E_2\) representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre \(E_1\) e \(E_2\)?

A) \(E_1 = E_2 + 2\)

B) \(E_1 = 10^2.E_2\)

C) \(E_1 = 10^3.E_2\)

D) \(E_1 = 10^{\frac{9}{7}}.E_2\)

E) \(E_1 = \frac{9}{7}.E_2\)

Resposta: Alternativa C