Exercício Yes Matemática

a) Quais são os divisores positivos de 2?

Resposta: 1, 2

b) Quais são os divisores positivos de 4?

Resposta: 1, 2, 4

c) Quais são os divisores positivos de 8?

Resposta: 1, 2, 4, 8

d) Quais são os divisores positivos de 16?

Resposta: 1, 2, 4, 8, 16

e) Quais são os divisores positivos de 32?

Resposta: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Exercício Yes Matemática

Para as questões abaixo, dê a resposta em formato de potência de 2.

a) Quais são os divisores positivos de 2?

Resposta: 2⁰, 2¹

b) Quais são os divisores positivos de 2²?

Resposta: 2⁰, 2¹, 2²

c) Quais são os divisores positivos de 2³?

Resposta: 2⁰, 2¹, 2², 2³

d) Quais são os divisores positivos de 2⁴?

Resposta: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴

d) Quais são os divisores positivos de 2⁵?

Resposta: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Exercício Yes Matemática

Para as questões abaixo, dê a resposta em formato de potência de 3.

a) Quais são os divisores positivos de 3?

Resposta: 3⁰, 3¹

b) Quais são os divisores positivos de 3²?

Resposta: 3⁰, 3¹, 3²

c) Quais são os divisores positivos de 3³?

Resposta: 3⁰, 3¹, 3², 3³

d) Quais são os divisores positivos de 3⁴?

Resposta: 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴

Exercício Yes Matemática

a) Quais são os divisores positivos de 6?

Resposta: 1, 2, 3, 6

b) Quais são os divisores positivos de 12?

Resposta: 1, 2, 3, 4, 6, 12

c) Quais são os divisores positivos de 24?

Resposta: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Exercício Yes Matemática

a) A divisão \(\frac{2 \times 3}{ 2^0 \times 3^0 }\) é exata?

b) A divisão \(\frac{2 \times 3}{ 2^0 \times 3^1 }\) é exata?

c) A divisão \(\frac{2 \times 3}{ 2^1 \times 3^0 }\) é exata?

d) A divisão \(\frac{2 \times 3}{ 2^1 \times 3^1 }\) é exata?

e) A divisão \(\frac{2 \times 3}{ 5 }\) é exata?

f) Os números abaixo são divisíveis por 2 × 3?

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹

Exercício Yes Matemática

a) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^0 \times 3^0 }\) é exata?

b) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^0 \times 3^1 }\) é exata?

c) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^1 \times 3^0 }\) é exata?

d) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^1 \times 3^1 }\) é exata?

e) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^2 \times 3^0 }\) é exata?

f) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 2^2 \times 3^1 }\) é exata?

g) A divisão \(\frac{2^2 \times 3}{ 5 }\) é exata?

h) Os números abaixo são divisíveis por 2² × 3?

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹

Exercício Yes Matemática

a) Quais são os divisores positivos de 2 × 3?

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹

b) Quais são os divisores positivos de 2² × 3?

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹

c) Quais são os divisores positivos de 2³ × 3?

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹
• 2³ × 3⁰
• 2³ × 3¹

d) Quais são os divisores positivos de 2² × 3²?

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2⁰ × 3²
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2¹ × 3²
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹
• 2² × 3²

Exercício Yes Matemática

a) Quantos divisores positivos tem o número 2⁴ × 3³?

Resposta: 5 × 4 = 20

b) Quantos divisores positivos tem o número 2⁶ × 3⁵?

Resposta: 7 × 6 = 42

Exercício Yes Matemática

Quais são os divisores positivos de 2 × 3 × 5?

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰ × 5⁰
• 2⁰ × 3⁰ × 5¹
• 2⁰ × 3¹ × 5⁰
• 2⁰ × 3¹ × 5¹
• 2¹ × 3⁰ × 5⁰
• 2¹ × 3⁰ × 5¹
• 2¹ × 3¹ × 5⁰
• 2¹ × 3¹ × 5¹

Exercício Yes Matemática

a) Quantos divisores positivos tem o número 2³ × 3² × 5²?

Resposta: 4 × 3 × 3 = 36

b) Quantos divisores positivos tem o número 2⁴ × 3³ × 5³?

Resposta: 5 × 4 × 4 = 80

Importante!

Para fazer esse raciocínio que a gente está seguindo, temos sempre que fatorar em números primos

Exercício Yes Matemática

a) Quais são os divisores positivos do número 36?

Resposta: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

b) Quais são os divisores positivos do número 6²?

Resposta:

6² = 2² × 3²

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2⁰ × 3²
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2¹ × 3²
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹
• 2² × 3²

Exercício Yes Matemática

Quantos divisores positivos tem o número 6³ × 15⁴?

Resposta:

6³ × 15⁴
= 2³ × 3³ × 3⁴ × 5⁴
= 2³ × 3⁷ × 5⁴

4 × 8 × 5 = 160 divisores positivos.

Exercício UNIFESP 2008 – Universidade Federal de São Paulo

(UNIFESP 2008) O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 21⁴ × 35³, inclusive 1 e N, é
(A) 84.
(B) 86.
(C) 140.
(D) 160.
(E) 162.

Resposta:

N = 3⁴ × 7⁷ × 5³

Quantidade de Divisores: 5 × 8 × 4 = 160

Exercício Yes Matemática

Fatore os seguintes números em fatores primos.

a) 12

Resposta:

12 = 2² × 3

b) 36

Resposta:

36 = 2² × 3²

c) 300

Resposta:

300 = 2² × 3 × 5²

d) 4500

Resposta:

4500 = 2² × 3² × 5³

e) 7200

Resposta:

7200 = 2⁵ × 5² × 3²

Exercício Yes Matemática

a) O número 24 pode ser fatorado como 2³ × 3. Liste os divisores positivos de 24.

Resposta:

• 2⁰ × 3⁰
• 2⁰ × 3¹
• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹
• 2³ × 3⁰
• 2³ × 3¹

b) Liste os divisores positivos pares de 24

Resposta:

Para que o divisor seja par, ele tem que ter pelo menos 1 fator 2.

• 2¹ × 3⁰
• 2¹ × 3¹
• 2² × 3⁰
• 2² × 3¹
• 2³ × 3⁰
• 2³ × 3¹

Exercício Yes Matemática

a) Quantos divisores positivos tem o número 4500?

Resposta:

4500 = 2² × 3² × 5³

Quantidade de divisores positivos = 3 × 3 × 4 = 36

b) Quantos divisores pares tem o número 4500?

Resposta:

4500 = 2² × 3² × 5³

Quantidade de divisores pares = 2 × 3 × 4 = 24

c) Quantos divisores positivos tem o número N = 4500, que sejam diferentes de N e de 1?

Resposta:

4500 = 2² × 3² × 5³

Quantidade de divisores positivos = 3 × 3 × 4 = 36

Retirando o 1 e o N, sobram 36 – 2 = 34.

Exercício UNIFAL – Universidade Federal de Alfenas

(UNIFAL) Seja x = 3600. Se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número de divisores naturais pares de x, então é correto afirmar que:

a) p = 45 e q = 36

b) p = 36 e q = 45

c) p = 16 e q = 10

d) p = 45 e q = 12

e) p = 16 e q = 34

Resposta:

3600 = 2⁴ × 3² × 5²

A quantidade de divisores positivos é 5 × 3 × 3 = 45.

A quantidade de divisores pares é 4 × 3 × 3 = 36.

Alternativa A

Exercício Yes Matemática

a) Quantos divisores positivos tem o número N = 2^x × 3^y × 5^z?

Resposta: (x+1) × (y+1) × (z+1)

b) Quantos divisores positivos tem o número N = 2^x × 3^y × 5^z, que sejam diferentes de N?

Resposta: (x+1) × (y+1) × (z+1) – 1

Exercício Yes Matemática

O número 2^x × 3^y × 5^z não é múltiplo de 5.

a) Quanto vale z?

Resposta: z vale 0.

b) Quantos divisores positivos tem o número 2^x × 3^y × 5^z?

Resposta:

(x+1) × (y+1)

c) Podemos dizer o que número 2^x × 3^y × 5^z tem (x+1) × (y+1) × (z+1) divisores positivos?

Resposta:

Sim, pois como z vale 0, temos que

(x+1) × (y+1) × (z+1)

= (x+1) × (y+1) × (0+1)

= (x+1) × (y+1) × 1

= (x+1) × (y+1)

Exercício Yes Matemática

O número N = 2^x × 3^y × 5^z é par.

a) x pode valer 0?

Resposta:

Não, se N é par, ele deve ter pelo menos 1 fator 2.

b) Quantos divisores positivos tem N = 2^x × 3^y × 5^z?

Resposta:

(x+1) × (y+1) × (z+1)

Exercício Yes Matemática

O número N = 2^x × 3^y × 5^z é múltiplo de 6.

a) x pode valer 0?

Resposta:

Não, se N é múltiplo de 6, ele deve ter pelo menos 1 fator 2 e pelo menos 1 fator 3.

b) y pode valer 0?

Resposta:

Não, se N é múltiplo de 6, ele deve ter pelo menos 1 fator 2 e pelo menos 1 fator 3.

c) Quantos divisores positivos tem N = 2^x × 3^y × 5^z?

Resposta:

(x+1) × (y+1) × (z+1)

Exercício ENEM 2014

(ENEM 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x . 5^y . 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A) x.y.z
B) (x+1).(y+1)
C) x.y.z-1
D) (x+1).(y+1).z
E) (x+1).(y+1).(z+1)-1

Resposta:

Alternativa E