Combinações VII

Exercício ENEM 2009

(ENEM 2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, …, 59, 60} custava R$ 1,50.

Disponível em www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

A) \(1\frac{1}{2}\) vez menor

B) \(2\frac{1}{2}\) vez menor

C) 4 vezes menor

D) 9 vezes menor

E) 14 vezes menor

Resposta: C

Exercício ENEM 2009

(ENEM 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

A) um combinação e um arranjo, respectivamente
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente
D) duas combinações
E) dois arranjos

Resposta: A

Exercício UEMG 2014 (Universidade Estadual de Minas Gerais)

(UEMG 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é
A) 14 000.
B) 480.
C) 8! + 4!
D) 72 000.

Resposta: Alternativa A

Exercício UESPI 2012 (Universidade Estadual do Piauí)

(UESPI 2012) Júnior já leu três livros de sua coleção de 12 livros. Escolhendo ao acaso três livros da coleção, qual a probabilidade de Júnior não ter lido nenhum dos três?
A) 31/55 B) 29/55 C) 27/55 D) 23/55 E) 21/55

Resposta: E

(ENEM 2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se

A P(I) < P(III) < P(II)
B P(II) < P(I) < P(III)
C P(I) < P(II) = P(III)
D P(I) = P(II) < P(III)
E P(I) = P(II) = P(III)

Resposta: E

(UNIFESP 2003) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições?
(A) 792.
(B) 494.
(C) 369.
(D) 136.
(E) 108.

Resposta: D

(FUVEST 2003) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza.

Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?

A) 360
B) 420
C) 540
D) 600
E) 640

Resposta: E

(UNIFESP 2002) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores.
De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
a) 64.
b) 126.
c) 252.
d) 640.
e) 1260.

Resposta: E

(UNESP 2010) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?

(A) 4.
(B) 6.
(C) 9.
(D) 12.
(E) 15.

(UNESP 2007) Uma prova é constituída de 12 questões do tipo múltipla escolha, cada uma delas com 5 alternativas. Um candidato pretende fazer esta prova “chutando” todas as respostas, assinalando uma alternativa por questão sem qualquer critério de escolha. A probabilidade de ele acertar 50% da prova é

A) \(924.(\frac{4}{5})^6\)

B) \(792.(\frac{4}{5})^6\)

C) \(924.(\frac{1}{5})^6\)

D) \(924.(\frac{2}{5})^{12}\)

A) \(792.(\frac{2}{5})^{12}\)

IMPORTANTE: Tente resolver o exercício por pelo menos 5 minutos, antes de ver as dicas

Dica 1:
https://youtu.be/O8_p0Yjz9eo

Resolução Dica 1:
https://youtu.be/8zi1jm2Ct_Y

Dica2:
https://youtu.be/nBEEtEbHG6o

Resolução Dica 2:
https://youtu.be/MsboVVecRsY

Dica 3:
https://youtu.be/L7VrvKWjnVc

Resolução Dica 3:
https://youtu.be/Jd7MOmHWuoI

Dica 4:
https://youtu.be/REvB3zylv5c

Resolução Dica 4:
https://youtu.be/bhGJ4wGSXA4

Resposta: D

Resposta: E

(ENEM 2020 PPL) O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.

Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).

A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é

A) \(C_{4}^{3} + 3!\)

B) \(C_{6}^3\)

C) \(C_{4}^3 \times 3!\)

D) \(A_{6}^3\)

E) \(A_{4}^3 \times 3!\)

(UFMG 2003) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas pode-se fazer tal distribuição?

A) \(\frac{28!}{7!.4!}\)

B) \(\frac{28!}{4!.24!}\)

C) \(\frac{28!}{(7!)^4}\)

D) \(\frac{28!}{7!.21!}\)

Resposta: C

(FAMEMA 2017) Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, branco e rosa, sendo cada um deles de uma única cor, e irá utilizar 3 folhas para anotações. O número total de maneiras possíveis de essa pessoa escolher essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma mesma cor, é
(A) 22. (B) 12. (C) 15. (D) 18. (E) 25.

Resposta E

(UNESP 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar:

A) R$ 15,00
B) R$ 30,00
C) R$ 35,00
D) R$ 70,00
E) R$ 140,00

Resposta: B

(UFF 99) Cinco casais vão-se sentar em um banco de 10 lugares, de modo que cada casal permaneça sempre junto ao sentar-se.
Determine de quantas maneiras distintas todos os casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco

Resposta: 5! × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

(UNESP 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.

Nessas condições, a quantidade de folha de respostas dife- rentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será

(A) 302400.
(B) 113400.
(C) 226800.
(D) 181440.
(E) 604800.

(ENEM 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A) \(C_{12}^4\times C_{12}^3\times C_{12}^3\times C_{12}^2\)

B) \(C_{12}^4\times C_{8}^3\times C_{5}^3\times C_{2}^2\)

C) \(C_{12}^4\times2\times C_{8}^3\times C_{5}^2\)

D) \(C_{12}^4+2\times C_{12}^3+C_{12}^2\)

E) \(C_{12}^4\times C_{8}^3\times C_{5}^3\times C_{2}^2\)

(FUVEST 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108

(FUVEST 2003) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente.

Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?

a) 360
b) 420
c) 540
d) 600
e) 640

(FGV 2018) Existe quantidade ilimitada de bolas de três cores diferentes (branca, preta, azul) em um depósito, sendo que as bolas se diferenciam apenas pela cor. Oito dessas bolas serão colocadas em uma caixa. A quantidade de caixas diferentes que podem ser compostas com oito bolas é igual a

(A) 3⁸

(B) 336

(C) 56

(D) 45

(E) 25

Dicas e Resolução

IMPORTANTE: Tente resolver o exercício por alguns minutos antes de acessar os vídeos de dicas e resolução.

Dica 1:

Resolução Dica 1:

Resposta

Alternativa D

(ENEM 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo de brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa irá produzir?

A) \(C_{6,4}\)

B) \(C_{9,3}\)

C) \(C_{10,4}\)

D) \(6^4\)

E) \(4^6\)

(UEL-2002) Uma distribuidora de sabonetes, xampus e condicionadores tem três marcas diferentes de cada um desses produtos. Ao receber as encomendas de três fregueses, um funcionário da distribuidora anotou apenas os nomes dos fregueses e os produtos solicitados: cada um pediu uma caixa de sabonete, uma caixa de xampu e uma caixa de condicionador. Quanto às marcas, o funcionário lembra-se que cada um solicitou marcas diferentes daquelas solicitadas pelos outros. Quando percebeu a sua falha, o funcionário imaginou que a falta da informação sobre as marcas não teria sérias conseqüências, pois bastaria fazer algumas tentativas até conseguir entregar os produtos de acordo com os pedidos. Quantas possibilidades existem de distribuição dos pedidos entre os três fregueses?

A) (3!)³

B) 3.3!

C) \(\frac{3!.3!}{3}\)

D) 3⁹

E) \(\frac{9!}{3!.3!}\)

(ENEM 2019) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

A. 69
B. 70
C. 90
D. 104
E. 105

Resposta: Alternativa C