Exercício Yes Matemática

Fatore os seguintes números em fatores primos:

a) 50

Resposta:

50 = 2 × 25 = 2 × 5 × 5 = 2.5²

b) 39 × 10 × 10

Resposta:

39 × 10 × 10 = 3 × 13 × 2 × 5 × 2 × 5

= 2².3.5².13

c) 26 × 26 × 10 × 10 × 10

Resposta:

26 × 26 × 10 × 10 × 10

= 2 × 13 × 2 × 13 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5

= 2⁵.5³.13²

Exercício UECE 2022 – Universidade Estadual do Ceará

(UECE 2022) No Brasil, os veículos automotores mais antigos, com quatro rodas ou mais, são identificados com placas nas quais são gravados sete dígitos, sendo três letras seguidas de quatro algarismos arábicos (por exemplo GAV 5613). Atualmente os veículos novos são identificados com placas do chamado padrão Mercosul, que também utiliza sete dígitos. A diferença é que, de acordo com esse padrão, o segundo algarismo da esquerda para a direita é substituído por uma das vinte e seis letras do alfabeto português (por exemplo GAV 5M13).
Considerando que pode haver repetição dos dígitos, o número total de placas padrão Mercosul que podem ser produzidas é

A) 2⁵.5⁴.13⁵,
B) 2⁵.5⁶.13⁴.
C) 2⁷.5⁴.13⁵,
D) 2⁷.5³.13⁴.

Resposta:

Alternativa D

Exercício FUVEST 2022 – Universidade de São Paulo

(FUVEST 2022) Atualmente, no Brasil, coexistem dois sistemas de placas de identificação de automóveis: o padrão Mercosul (o mais recente) e aquele que se iniciou em 1990 (o sistema anterior, usado ainda pela maioria dos carros em circulação). No sistema anterior, utilizavam-se 3 letras (em um alfabeto de 26 letras) seguidas de 4 algarismos (de 0 a 9). No padrão Mercosul adotado no Brasil para automóveis, são usadas 4 letras e 3 algarismos, com 3 letras nas primeiras 3 posições e a quarta letra na quinta posição, podendo haver repetições de letras ou de números. A figura ilustra os dois tipos de placas.

Dessa forma, o número de placas possíveis do padrão Mercosul brasileiro de automóveis é maior do que o do sistema anterior em
(A) 1,5 vezes.
(B) 2 vezes.
(C) 2,6 vezes.
(D) 2,8 vezes.
(E) 3 vezes.

Dicas e Resolução

Dica 1 em vídeo

Dica 2 em vídeo

Dica 3 em vídeo

Resumo dos vídeos de Dicas e Resolução

Resposta

Alternativa C

Exercício ENEM 2017

(ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é:

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

Dica 1:

Vamos começar analisando a Opção I, com formato LDDDDD. Seguindo esse formato, a senha tem 6 caracteres, sendo que o primeiro deve ser uma letra, e o outros caracteres devem ser dígitos. Temos que calcular quantas senhas distintas possíveis existem nesse formato.

Para o primeiro caracter, nós temos 26 escolhas possíveis de letras, e para cada um dos outros caracteres, nós temos 10 escolhas possíveis de dígitos.

Então, o número total de senhas que podemos formar nesse formato é:

\(26\times10\times10\times10\times10\times10\)

Fazendo a conta, encontramos o resultado de 2,600,000 senhas possíveis.

O enunciado pergunta, para qual dos 5 formatos, o número de senhas existentes é maior que 1 milhão e menor que 2 milhões. O resultado que encontramos para a Opção I é maior que 2 milhões, então está descartado.

Dica 2:

Vamos calcular o número total de senhas distintas para cada um dos outros formatos:

Opção II: DDDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\times10\)

Resultado: 1000,000 de senhas possíveis. O enunciado pede um formato que tenha mais de 1 milhão de senhas possíveis. Para essa opção, existem exatamente 1 milhão de senhas possíveis. Então a Opção II está descartada.

Opção III: LLDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times10\times10\times10\times10\)

O resultado da conta é: 6,760,000. Esse valor é maior que 2 milhões. Então a Opção III está descartada.

Opção IV: DDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\)

O resultado dá 100,000. Esse valor é menor que 1 milhão, então essa opção está descartada.

Opção V: LLLDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times26\times10\times10\)

O resultado é 1,757,600. Esse valor está entre 1 milhão e 2 milhões. Então a alternativa correta é a Opção V.

Resposta: Alternativa E

Exercício ENEM 2014 2^a aplicação

(ENEM 2014 2^a aplicação) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.

Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por

A) 100
B) 90
C) 80
D) 25
E) 20

Dica 1:

O enunciado diz que os novos caracteres devem ser vogais, minúsculas ou maiúsculas. Então para cada novo caracter, existem 10 possibilidades de escolha: a, b, c, d, e, A, B, C, D, E.

Dica 2:

Vamos supor, que originalmente, a capacidade do número de senhas do banco era um valor N.

Ao adicionarmos uma vogal, minúscula ou maiúscula no início, e uma outra no final, o número total de senhas possíveis fica:

\(10\times{N}\times10 = 100N\)

Ou seja, o número total de senhas possíveis cresceu 100 vezes em relação à capacidade original de N.

Resposta: Alternativa A

Exercício ENEM 2017 2^a aplicação

(ENEM 2017 2^a aplicação) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado)

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a

A) \(26^3 + 9^4\)

B) \(26^3 \times 9^4\)

C) \(26^3 (10^4 – 1)\)

D) \((26^3 + 10^4) – 1\)

E) \((26^3 \times 10^4) – 1\)

Dica 1:

Qual o número de sequências formadas por 3 letras?

\(26\times26\times26 = 26^3\)

Dica 2:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos?

\(10\times10\times10\times10 = 10^4\)

Dica 3:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos, sendo que não é permitida a sequência formada por quatro zeros?

\(10^4 – 1\)

Dica 4:

De quantas maneiras podemos formar uma placa que começa com 3 letras, seguida de 4 algarismos. Mas não é permitido que todos os algarismos sejam zero.

\(26^3\times(10^4 – 1)\)

Resposta: Alternativa C